1. Uva Letzion following the study of Nevi'im or Ketuvim
תשובות רב נטרונאי גאון - ברודי (אופק) אורח חיים סימן לט
לרב נטרונאי ...מה טעם קבעו אותם חכמים בסדר קדושה.
כך מנהג ראשונים, מקום שיש שם תלמידי חכמים כשהיו מתפללין ונופלין על פניהם ומקדשין, לאחר שעונין אמן יהא שמיה וכו' מביאין נביא וקורין בו כעשרה פסוקים, הן חסר הן יתר, ומתרגמין אותן, ואחר כך אומרים וקרא זה אל זה ואמר ומתרגמין כשם שתרגמו אותה פרשה של נביא, ואומרין ותשאני רוח ומתרגמין אותו, כדי לסיים בשבחו של הקדוש ברוך הוא
From a Responsum by Rabbi Natronai we know that the Kedusha DeSidra in the daily morning prayer had its origin in the custom of reading from the Prophets after the end of the service; The Kedusha DeSidra in the afternoon service, therefore, proves that a Prophetical lesson was read in the afternoon. This conjecture is abundantly confirmed by an old Responsum, quoted by Sefer Ha'Itim, which explicitly mentions the custom of having a lesson from the Prophets on Sabbath afternoons, and reading it, not in connexion with the regular Pentateuch lesson, but at the beginning, before the service has started. The service at the conclusion of the Sabbath presents a development the reverse of that took place in the Sabbath afternoon service. While in the latter the Prophetical lesson was put at the beginning, in the former the reading from the Ketuvin was pushed on to the end, wherefore we have a Kedusha DeSidra after the conclusion of the Motsa’ei Shabbat service. The reciting of Psalm 92 at the service at the going out of the Sabbath is a remnant of the readings from the Ketuvim.
A further corroboration of Rabbi Natronai's theory, that the Kedusha DeSidra concludes a reading from the Prophets or from the Ketuvim, is offered by the custom of reciting it after the reading of the Megillah on Purim, and the Book of Lamentations on Tisha be-Ab. (Louis Ginzberg, Geonica II, p.299-300)
2. The meaning of ואתה קדוש יושב and אַשְׁרֵי יוֹשְׁבֵי בֵיתֶךָ
ספר העיתים סימן קצז
כתב גאון בנוסחא עתיקא סידורא דמנחה בשבתא: "קרו בסידרא בנביא מאי דניחא להו וכד מסיימין קאי שלוחא דצבורא ואמר פסוקי דסוף סדרא וענו בתריה האי פסוקא והדר ואתה קדוש יושב תהילת ישראל וענו בתריה ואתה קדוש, והדר כולה קדישתא עד סופא, ומקדש יתגדל ויתקדש וכו'", האי מנהגא לא חזי לן דמ"ט קא שביק תהלה לדוד דלאחר דקרו סידרא בנביא הוי לי' למיפתח בתהלה לדוד והכי שפיר למיעבד דתהלה לדוד מילתא רבתי היא למימריני' וכדגרסינן בפרק מאימתי אמר ר' אלעזר בן אבינא כל האומר תהלה לדוד בכל יום מובטח לו שהוא בן עולם הבא, וכתבו רבוותא דלהכי תקינו רבנן למימריה תלתא זימני בכל יום בפסוקי דזימרא ובקדושא דסידרא וקודם תפילת המנחה והואיל וכן מ"ט נחסרו ממנחה דשבת הלכך אפילו באתרי דרגילי למיקרי בסידרא בנביא חזי לן לעניות דעתן דבתר הכי שפיר למיפתח בתהלה לדוד במנחה דשבת:
- ואתה קדוש יושב Just as we stay longer in shul to study some verses from Tanach, we trust that God will also take time to 'sit down' and attend to our prayers. It exactly mirrors אַשְׁרֵי יוֹשְׁבֵי בֵיתֶךָ
- The verses of the study order [סידרא] would be concluded with public sanctification of God [כולה קדישתא], most likely referring to the verses of kedusha still included in Uva Letsiyon
רַבָּן שִׁמְעוֹן בֶּן גַּמְלִיאֵל אוֹמֵר, הֵעִיד רַבִּי יְהוֹשֻׁעַ: מִיּוֹם שֶׁחָרַב בֵּית הַמִּקְדָּשׁ אֵין יוֹם שֶׁאֵין בּוֹ קְלָלָה... [סוטה מ״ט א] וְאֶלָּא, עָלְמָא אַמַּאי קָא מִקַּיַּים? אַקְּדוּשָּׁה דְסִידְרָא, וְאַ״יְּהֵא שְׁמֵיהּ רַבָּא״ דְּאַגַּדְתָּא
Rabban Shimon ben Gamliel says that Rabbi Yehoshua testified: From the day the Temple was destroyed there is no day that does not include some form of curse... [Sota 49a] But if everything is deteriorating, why does the world continue to exist? The Gemara answers: By the sanctification that is said after the order, and by the response: Let His great name be blessed, etc., which is recited after the study of aggada.
רַבִּי חֲלַפְתָּא בֶן דּוֹסָא אִישׁ כְּפַר חֲנַנְיָה אוֹמֵר, עֲשָׂרָה שֶׁיּוֹשְׁבִין וְעוֹסְקִין בַּתּוֹרָה, שְׁכִינָה שְׁרוּיָה בֵינֵיהֶם, שֶׁנֶּאֱמַר (תהלים פב) אֱלֹקִים נִצָּב בַּעֲדַת אֵל... וּמִנַּיִן אֲפִלּוּ אֶחָד, שֶׁנֶּאֱמַר (שמות כ) בְּכָל הַמָּקוֹם אֲשֶׁר אַזְכִּיר אֶת שְׁמִי אָבֹא אֵלֶיךָ וּבֵרַכְתִּיךָ:
- Now that the Temple is destroyed, the only way to come close to the Presence of God is by studying Tora
- Therefore, precisely after a study session with a minyan is it appropriate to sanctify God
- Just as it formerly was the Temple service that sustained the world, it is now the studying of Tora that allows Jewish life and the world at large to continue
3. The origin and meaning of בָּרוּךְ הוּא אֱלֺקֵֽינוּ
II Maccabees 1:3-4
2 May God do good to you, and may he remember his covenant with Abraham and Isaac and Jacob, his faithful servants. 3 May he give you all a heart to worship him and to do his will with a strong heart and a willing spirit. 4 May he open your heart to his law and his commandments, and may he bring peace.
בָּרוּךְ הוּא אֱלֺקֵֽינוּ שֶׁבְּ֒רָאָֽנוּ לִכְ֒בוֹדוֹ וְהִבְדִּילָֽנוּ מִן הַתּוֹעִים וְנָֽתַן לָֽנוּ תּוֹרַת אֱמֶת וְחַיֵּי עוֹלָם נָטַע בְּתוֹכֵֽנוּ הוּא יִפְתַּח לִבֵּֽנוּ בְּתוֹרָתוֹ וְיָשֵׂם בְּלִבֵּֽנוּ אַהֲבָתוֹ וְיִרְאָתוֹ וְלַעֲשׂוֹת רְצוֹנוֹ וּלְעָבְ֒דוֹ בְּלֵבָב שָׁלֵם לְמַֽעַן לֺא נִיגַע לָרִיק וְלֺא נֵלֵד לַבֶּהָלָה:
Sidur Sa'adya Gaon, instruction after the Birkot Hatora in the Shacharit service.
Mann, Genizah Fragments, p.317