חזק חזק ונתחזק Hazak Hazak V'nit'hazek

(יא) הקורא בתורה צריך לאחוז בספר תורה בשעת ברכה: הגה וסמכו מנהג זה על מה שנא' ביהושע לא ימוש ספר התורה הזה מפיך חזק ואמץ ומזה נהגו לומר למסיים לקרות בתורה בכל פעם חזק (ב"י בשם אורח חיים):

(11) The one reading the Torah must hold the Sefer Torah at the time he makes the blessing. Rem"a: And they base this tradition on the verse from Joshua: "Do not let this Book of Teaching cease from your lips...Be strong and resolute"(Josh. 1:8-9). And from this we have the tradition to say to the person who finishes reading from the Torah, each time: "Hazak" ("Be strong"). (Beit Yosef in the name of Orach Chaim)

לֹֽא־יָמ֡וּשׁ סֵ֩פֶר֩ הַתּוֹרָ֨ה הַזֶּ֜ה מִפִּ֗יךָ וְהָגִ֤יתָ בּוֹ֙ יוֹמָ֣ם וָלַ֔יְלָה לְמַ֙עַן֙ תִּשְׁמֹ֣ר לַעֲשׂ֔וֹת כְּכׇל־הַכָּת֖וּב בּ֑וֹ כִּי־אָ֛ז תַּצְלִ֥יחַ אֶת־דְּרָכֶ֖ךָ וְאָ֥ז תַּשְׂכִּֽיל׃ הֲל֤וֹא צִוִּיתִ֙יךָ֙ חֲזַ֣ק וֶאֱמָ֔ץ אַֽל־תַּעֲרֹ֖ץ וְאַל־תֵּחָ֑ת כִּ֤י עִמְּךָ֙ יְהֹוָ֣ה אֱלֹהֶ֔יךָ בְּכֹ֖ל אֲשֶׁ֥ר תֵּלֵֽךְ׃ {פ}

Let not this Book of the Teaching cease from your lips, but recite it day and night, so that you may observe faithfully all that is written in it. Only then will you prosper in your undertakings and only then will you be successful [or: prudent]. “Have I not charged you: Be strong and resolute; do not be terrified or dismayed, for the ETERNAL your God is with you wherever you go.”

In Sfaradi and Italian communities, at the end of each aliyah, the congregation says to the person with the aliyah, "hazak" or "hazak uvaruh" ("be strong" or "strong and blessed") and that person responds "hazak uvaruh" or hizku v'imtsu" ("strong and blessed" or "be strong and resolute").
In Ashkenazi communities, the most widespread blessing for each aliyah is "yasher koach" (may your strength go forward) and the response is "baruh tihyeh" (or its various conjugations) ("may you be blessed").
At the end of a book of Torah, mostly in Ashkenazi congregations, the congregation rises and says "hazak hazak v'nit'hazek," which the reader repeats. "Hazak" means, as above, "be strong." "V'nithazek" is a little ambiguous. Possibilities include: "And let's get strong," "and may we be strong," "and let's strengthen ourselves," or similar.

(יב) חֲזַ֤ק וְנִתְחַזַּק֙ בְּעַד־עַמֵּ֔נוּ וּבְעַ֖ד עָרֵ֣י אֱלֹהֵ֑ינוּ וַֽיהֹוָ֔ה יַעֲשֶׂ֥ה הַטּ֖וֹב בְּעֵינָֽיו׃

(12) Be strong and let us strengthen ourselves for the sake of our people and the land of our God; and the ETERNAL will do what is good in Its sight.”

אָמַר רַבִּי חָמָא בְּרַבִּי חֲנִינָא: אִם רָאָה אָדָם שֶׁהִתְפַּלֵּל וְלֹא נַעֲנָה — יַחְזוֹר וְיִתְפַּלֵּל. שֶׁנֶּאֱמַר: ״קַוֵּה אֶל ה׳ חֲזַק וְיַאֲמֵץ לִבֶּךָ וְקַוֵּה אֶל ה׳״. תָּנוּ רַבָּנַן: אַרְבָּעָה צְרִיכִין חִזּוּק, וְאֵלּוּ הֵן: תּוֹרָה, וּמַעֲשִׂים טוֹבִים, תְּפִלָּה, וְדֶרֶךְ אֶרֶץ. תּוֹרָה וּמַעֲשִׂים טוֹבִים מִנַּיִן? — שֶׁנֶּאֱמַר: ״רַק חֲזַק וֶאֱמַץ מְאֹד לִשְׁמֹר וְלַעֲשׂוֹת כְּכׇל הַתּוֹרָה״, ״חֲזַק״ — בַּתּוֹרָה, ״וֶאֱמַץ״ — בְּמַעֲשִׂים טוֹבִים. תְּפִלָּה מִנַּיִן? — שֶׁנֶּאֱמַר ״קַוֵּה אֶל ה׳ חֲזַק וְיַאֲמֵץ לִבֶּךָ וְקַוֵּה אֶל ה׳״. דֶּרֶךְ אֶרֶץ מִנַּיִן? — שֶׁנֶּאֱמַר ״חֲזַק וְנִתְחַזַּק בְּעַד עַמֵּנוּ וְגוֹ׳״.

Rabbi Ḥama, son of Rabbi Ḥanina, said: A person who prayed and saw that they were not answered, should pray again, as it is stated: “Hope in the ETERNAL, strengthen yourself and let your heart take courage, and hope in the ETERNAL” (Psalms 27:14). The Sages taught: Four things require bolstering (or: strengthening), and they are: Torah, good deeds, prayer, and making a living (or: interpersonal relations). From where is it derived that Torah and good deeds require bolstering? As it is stated in the instruction to Joshua: “Only be strong and be extremely courageous, observe and do all of the Torah [that Moses My servant commanded you; do not deviate to the right or to the left, that you may succeed wherever you go]” (Joshua 1:7). “Be strong” in Torah and “be courageous” in good deeds. From where is it derived that prayer requires bolstering? As it is said: “Hope in the ETERNAL, strengthen yourself and let your heart take courage, and hope in the ETERNAL.” From where is it derived that making a living (or interpersonal relations) requires bolstering? As it is stated: “Be strong and let us be strong for the sake of our nation and for the cities of our God” (II Samuel 10:12).

From the Hebrew Wikipedia article on Hazak Hazak V'nit'hazek:

בשו"ת מהר"ם מינץ, כמו שאומרים "הדרן עלך" בסיום מסכת, כך אומרים "חזק" ...

בשו"ת באר משה הביא טעם נוסף על פי הכתוב במסכת יומא "וזאת התורה אשר שם משה, זכה נעשית לו סם חיים, לא זכה נעשית לו סם מיתה". וכן אמר במקום אחר רבי בנאה, ועל כן מברכים 'חזק חזק' שיזכה לאור התורה ותהיה לו סם חיים.

Maharam Mintz's Responsa says that just as we say "hadran alah - we will return to you" at the end of a masechet of Talmud, so we say "hazak."... In the Responsa "Be'er Mosheh," he offers another explanation based on the line in Talmud, Masechet Yoma: "This is the Torah that Moses placed (asher sam mosheh) - If you merit, it becomes life-giving sam - drug; If you don't merit, a killing drug."

מהרל מפרג - נתיבות עולם ־ נתיב דרך ארץ פרק א

בפרק אין עומדין (ברכות ל"ב, ב') שנו רבותינו ד' צריכין חיזוק תורה ומעשים טובים תפלה ודרך ארץ, תורה ומעשים טובים דכתיב חזק ואמץ, תפלה דכתיב קוה אל ה' חזק ויאמץ לבך, דרך ארץ דכתיב חזק ונתחזקה בעד עמנו וגו'. וביאור ענין זה שכל דבר אשר יש מתנגד אליו צריך חיזוק כנגד זה. והתורה צריכה חיזוק מאוד כי האדם בעל גשם ובעל חומר ולכך צריך האדם חיזוק מאוד להתגבר על החמרי. ומעשים טובים צריך האדם התנגדות נגד יצרו שהוא כנגדו ולפיכך צריך התחזקות כנגדו. תפלה צריך התגברות נגד המקטריגים שהאדם רוצה שיתן לו דבר שאינו ראוי לו מעצמו והמה מקטריגים על האדם בתפלתו. ולפיכך צריך האדם לחזק בתפלתו כאשר יבקש דבר שאינו ראוי לו מצד עצמו לפי הטבע. ויש מתנגד אל דרך ארץ, כי דרך ארץ הוא לפי מה שנותן השכל לכן צריך האדם להתגבר בשכלו על הטבע החמרי שהטבע החמרי אינו רוצה רק בטבע בלבד מבלי שום הנהגה שכלית, ולפיכך צריך חיזוק. וכל אלו ד' דברים שזכר הם דברים שאינם מצד עה"ז שהוא עולם טבעי, כי התורה היא שכלית ואין השכל ראוי אל העולם הטבעי, וכך המעשים הטובים הם מעשה האדם הטובים שאין המעשים הטובים מעשים טבעיים כלל, וכן התפלה להביא דבר מן הש"י שאינו לפי הטבע, וכך דרך ארץ שהוא הנהגת העולם לפי סדר השכלי במה שהוא אדם שכלי ואינו לפי הטבע. ויש לך להבין עוד אלו ד' דברים שזכר כאן אשר הם נבדלים מן העה"ז, התורה ומעשים טובים התפלה ודרך ארץ, אשר הם דברים גדולים ולמעלה הם נקשרים בד' יסודות עולם כאשר תבין דברי חכמה, ובשביל זה אלו ד' דברים בפרט צריכין חיזוק ביותר והבן אותם מאוד:
הדברים אשר הם דרך ארץ הם כל דברי מוסר

Maharal mi-Prag: Netivot Olam. Netiv Derech Eretz 1.

In the section “en omdin” (Talmud B’rachot 32b), our sages taught: Four things require bolstering: Torah, good deeds, prayer, and dereh erets [literally “the way of the world”, but often means occupation/livelihood or also (esp. later) proper interpersonal conduct]. ... And the explanation is that everything that has an opposing force needs bolstering to oppose it. And the Torah needs much bolstering, because humans are physical, material beings, so a person needs a lot of bolstering to oppose the material. And as for good deeds, people need something to oppose their yetser, which opposes them.... Prayer requires mighty effort against the prosecutors, since people desire that It give them something that they don’t really deserve [or: that isn’t fitting for them] on their own, and the prosecutors argue against them when they pray. So people need to be strong, to bolster their prayer when they request something they don’t deserve [or:...] on their own, by nature. And there’s an opposing force to dereh erets, for dereh erets follows from thought, so people need make a mighty effort to use thought to overcome [their?] material nature, because the material nature is only interested in nature, with no direction from thought, so one needs bolstering. ... And the matters related to dereh erets are all the matters of mussar.

(לד) אֵ֣לֶּה הַמִּצְוֺ֗ת אֲשֶׁ֨ר צִוָּ֧ה יְהֹוָ֛ה אֶת־מֹשֶׁ֖ה אֶל־בְּנֵ֣י יִשְׂרָאֵ֑ל בְּהַ֖ר סִינָֽי׃
(34) These are the commandments that יהוה gave Moses for the Israelite people on Mount Sinai.

חזק!