Rabbeinu Chananel on Taanit 25b
והא דר' אליעזר דירד לפני התיבה ואמר כ"ד ברכות ולא ירדו גשמים וירד אחריו ר' עקיבא ואמר אבינו מלכנו אבינו אתה ואין לנו מלך אלא אתה אבינו מלכינו רחם עלינו ומיד ירדו גשמים הוו מרננו (כ"ע) רבנן. יצתה ב"ק ואמרה לא מפני שרבי עקיבא גדול מר' אליעזר אלא ר' עקיבא מעביר על מדותיו ור' אליעזר עומד על מדותיו ואינו מעביר.
And it was that Rabbi Eliezer, who descended to serve as prayer leader before the ark on a fast day. And he recited twenty-four blessings, but rain did not fall. Rabbi Akiva descended before the ark after him and said: Our Father, our King, we have no king other than You. Our Father, our King, for Your sake, have mercy on us. And rain immediately fell. The Sages were whispering among themselves that Rabbi Akiva was answered while his teacher, Rabbi Eliezer, was not. A Divine Voice emerged and said: It is not because this Sage, Rabbi Akiva, is greater than that one, Rabbi Eliezer, but that Rabbi Akiva this one passes over his attributes (i.e. is forgiving), but Rabbi Eliezer stands on his attributes and doesn't pass over (i.e. is not forgiving).
(ג) אִם חָל בְּשַׁבָּת, אוֹמְרִים: צִדְקָתְךָ, וְאוֹמְרִים: אָבִינוּ מַלְכֵּנוּ; הַגָּה: וּבִמְדִינוֹת אֵלּוּ אֵין אוֹמְרִים: צִדְקָתְךְ, וְלֹא אָבִינוּ מַלְכֵּנוּ.
...(3) If [Yom Kippur] falls on Sahbbat, say: Tzidkat'kha, and say: Avinu Malkeinu; REMA: and in these lands, do not say: Tzidkat'kha nor Avinu Malkeinu
(יג) (יג) ולא אבינו מלכנו - שהוא שאלת צרכים ואין שואלין בשבת ובחול אומרים אם לא שהזמן קצר וצריך למהר כדי להתפלל נעילה ביום וטוב לומר מעט סליחות בנחת מהרבה במרוצה:
...(13) Nor Avinu Malkeinu -- Since it is a request for material goods and one does not make an ask like that on Shabbat. And during the week we say it. If the time is not short and one needs to hurry in order to pray Neilah during the day, and it is good to say a few selichot easily than to rush many of them.
(ה) נוֹשְׂאִים כַּפַּיִם בַּנְּעִילָה וְהַמִּנְהָג בִּמְדִינוֹת אֵלּוּ שֶׁלֹּא לִשָּׂא כַּפַּיִם, וְאוֹמְרִים: אָבִינוּ מַלְכֵּנוּ.
...(5) Do the priestly blessing during Neilah. And the custom of the these lands is not to do the priestly blessing, but it is to say: Avinu Malkeinu.
(ג) נושאין כפים...ואומרים א"מ אפילו חל בשבת דכבר עבר שבת (לבוש) ונ"ל דאפי' אם עדיין יום הוא אומרים אותו ...מ"מ בנעילה אומרים אותו שהוא שעת גמר דין...
...Do the Priestly blessing...and say Avinu Malkeinu even if it falls on Shabbat since Shabbat will already have passed (Levush). And it seems to me that even if it is still day time we say Avinu Malkeinu...In any case, during Neilah one says it since it is the hour in which the judgment is sealed...