The Vilna Gaon, quoting the Ari ZT"L states that Yom Kippur is a "Yom K'Purim" a day like Purim. The Vilna Gaon gives a number of explanations on how they are intrinsically connected despite being, on the surface, so very different in nature and purpose.
The purpose of these sources is to look at how Megillat Esther and Sefer Yonah, read on Purim and Yom Kippur respectively, also have their connections and teach us important lessons about their respective festivals.
Pachad Yitzchak: Purim 8
כתב הגר"א הנה המהלך בכל יום טוב הוא חציו לשם חציו לכם. שני זמנים יוצאים הם מן הכלל הזה. יום כפור הוא כולו להשם ופורים הוא כולו לכם, אלא שלקושטא דמלתא אין כאן שום יוצא מן הכלל. כי יום כפורים הוא יום כ-פורים. כלומר, שניהם ביחד מהווים בעניין זה מועד אחד. ובמועד הזה הכולל פורים ויום כפור, שפיר מתקיים בו חציו להשם וחציו לכם. עד כען דברי הג"רא.
(ה) וַיַּאֲמִינוּ אַנְשֵׁי נִינְוֵה בֵּאלֹהִים וַיִּקְרְאוּ צוֹם וַיִּלְבְּשׁוּ שַׂקִּים מִגְּדוֹלָם וְעַד קְטַנָּם.
(ה) וַיֹּאמֶר הַמֶּלֶךְ מַהֲרוּ אֶת הָמָן לַעֲשׂוֹת אֶת דְּבַר אֶסְתֵּר וַיָּבֹא הַמֶּלֶךְ וְהָמָן אֶל הַמִּשְׁתֶּה אֲשֶׁר עָשְׂתָה אֶסְתֵּר.
(7) And he caused it to be proclaimed and published through Nineveh by the decree of the king and his nobles, saying: ‘Let neither man nor beast, herd nor flock, taste any thing; let them not feed, nor drink water;
(1) And the LORD prepared a great fish to swallow up Jonah; and Jonah was in the belly of the fish three days and three nights. (2) Then Jonah prayed unto the LORD his God out of the fish’s belly.
Esther Midrash Rabbah 9:2
NOW IT CAME TO PASS ON THE THIRD DAY: Israel are never left in dire distress more than three days... Of Jonah it says, And Jonah was is the belly of the fish three days and three nights... This miracle also was performed after three days of fasting, as it is written, NOW IT CAME TO PASS ON THE THIRD DAY, ESTHER PUT ON HER ROYAL APPAREL.